Доказательство бесконечности триплетов Пифагора

Содержимое статьи:

Докажем, что для любых натуральных чисел a, b и c, где a^2 + b^2 = c^2, существуют бесконечно много натуральных чисел k, m и n, таких что:
a = k^2 - m^2 b = 2km c = k^2 + m^2 Доказательство: Пусть заданы натуральные числа a, b и c, такие что a^2 + b^2 = c^2.
Рассмотрим триплет (k, m, n), где k и m - любые натуральные числа, а n - произвольное натуральное число.
Подставим значения a, b и c из данного триплета в уравнение Пифагора:

(k^2 - m^2)^2 + (2km)^2 = (k^2 + m^2)^2

Раскроем скобки и упростим:

k^4 - 2k^2m^2 + m^4 + 4k^2m^2 = k^4 + 2k^2m^2 + m^4

Уравнение упрощается до:

2k^2m^2 = 2k^2m^2

Это равенство всегда верно, независимо от значений k и m.
Таким образом, для любого триплета натуральных чисел a, b и c, где a^2 + b^2 = c^2, существует бесконечно много триплетов (k, m, n), которые удовлетворяют указанным уравнениям.