Доказательство равенства хорд EF и KP, проведенных параллельно через концы диаметра
Содержимое статьи:
- 1. Визуализация и обозначения
- 2. Построения
- 3. Анализ углов
- 4. Анализ треугольников
- 5. Равенство перпендикуляров
- 6. Применение свойства хорд
- 7. Равенство отрезков
- 8. Заключительное доказательство
Рассмотрим окружность с центром O и диаметром EP. Через концы диаметра проведены параллельные хорды EF и KP. Наша задача - доказать, что EF = KP.
1. Визуализация и обозначения
Представим себе данную конфигурацию:
- Окружность с центром O.
- Диаметр EP.
- Хорда EF.
- Хорда KP.
- EF || KP (EF параллельна KP).
2. Построения
Выполним следующие дополнительные построения:
- Проведем радиусы OE и OP.
- Проведем радиусы OF и OK.
- Опустим перпендикуляры OM на EF и ON на KP.
3. Анализ углов
Рассмотрим образовавшиеся углы:
- ∠EOM и ∠PON.
- Так как EF || KP, то ∠OEF = ∠OPK (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых EF и KP и секущей EP).
4. Анализ треугольников
Рассмотрим треугольники ΔOEF и ΔOPK:
- OE = OP (радиусы).
- OF = OK (радиусы).
- ∠OEF = ∠OPK (доказано выше).
Следовательно, ΔOEF = ΔOPK по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
5. Равенство перпендикуляров
Так как ΔOEF = ΔOPK, то их высоты, опущенные на соответствующие стороны, равны. Следовательно, OM = ON.
6. Применение свойства хорд
Вспомним свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.
- OM ⊥ EF, следовательно, EM = MF.
- ON ⊥ KP, следовательно, KN = NP.
7. Равенство отрезков
Рассмотрим треугольники ΔOME и ΔONK:
- OM = ON (доказано выше).
- OE = OK (радиусы).
- ∠OME = ∠ONK = 90° (по построению).
Следовательно, ΔOME = ΔONK по катету и гипотенузе. Значит, ME = NK.
8. Заключительное доказательство
Мы знаем, что:
- EM = MF, следовательно, EF = 2 * EM.
- KN = NP, следовательно, KP = 2 * KN.
- ME = NK (доказано выше).
Тогда:
EF = 2 EM = 2 NK = KP.
Таким образом, мы доказали, что EF = KP.