Дата публикации: 13.06.2025

Доказательство равенства хорд EF и KP, проведенных параллельно через концы диаметра

Содержимое статьи:

1. Визуализация и обозначения
2. Построения
3. Анализ углов
4. Анализ треугольников
5. Равенство перпендикуляров
6. Применение свойства хорд
7. Равенство отрезков
8. Заключительное доказательство

Рассмотрим окружность с центром O и диаметром EP. Через концы диаметра проведены параллельные хорды EF и KP. Наша задача - доказать, что EF = KP.

1. Визуализация и обозначения

Представим себе данную конфигурацию:

Окружность с центром O.
Диаметр EP.
Хорда EF.
Хорда KP.
EF || KP (EF параллельна KP).

2. Построения

Выполним следующие дополнительные построения:
Проведем радиусы OE и OP.
Проведем радиусы OF и OK.
Опустим перпендикуляры OM на EF и ON на KP.

3. Анализ углов

Рассмотрим образовавшиеся углы:
∠EOM и ∠PON.
Так как EF || KP, то ∠OEF = ∠OPK (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых EF и KP и секущей EP).

4. Анализ треугольников

Рассмотрим треугольники ΔOEF и ΔOPK:
OE = OP (радиусы).
OF = OK (радиусы).
∠OEF = ∠OPK (доказано выше).
Следовательно, ΔOEF = ΔOPK по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

5. Равенство перпендикуляров

Так как ΔOEF = ΔOPK, то их высоты, опущенные на соответствующие стороны, равны. Следовательно, OM = ON.

6. Применение свойства хорд

Вспомним свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.
OM ⊥ EF, следовательно, EM = MF.
ON ⊥ KP, следовательно, KN = NP.

7. Равенство отрезков

Рассмотрим треугольники ΔOME и ΔONK:
OM = ON (доказано выше).
OE = OK (радиусы).
∠OME = ∠ONK = 90° (по построению).
Следовательно, ΔOME = ΔONK по катету и гипотенузе. Значит, ME = NK.

8. Заключительное доказательство

Мы знаем, что:
EM = MF, следовательно, EF = 2 * EM.
KN = NP, следовательно, KP = 2 * KN.
ME = NK (доказано выше).
Тогда:
EF = 2 EM = 2 NK = KP.
Таким образом, мы доказали, что EF = KP.

ipsillon.ru

Доказательство равенства хорд EF и KP, проведенных параллельно через концы диаметра

Содержимое статьи:

1. Визуализация и обозначения

2. Построения

3. Анализ углов

4. Анализ треугольников

5. Равенство перпендикуляров

6. Применение свойства хорд

7. Равенство отрезков

8. Заключительное доказательство