Доказательство тригонометрического тождества: (5 sin a + sin 3a) / (cos a + cos 3a) = tg 2a

Копошилки

Содержимое статьи:

Давайте докажем тождество:
(5 sin a + sin 3a) / (cos a + cos 3a) = tg 2a
Для этого нам понадобятся следующие формулы:

• Формулы тройного угла:
• sin 3a = 3 sin a - 4 sin³ a
• cos 3a = 4 cos³ a - 3 cos a
• Тригонометрическое тождество:
• tg x = sin x / cos x
• Формула синуса двойного угла:
• sin 2x = 2 sin x cos x
• Формула косинуса двойного угла:
• cos 2x = cos² x - sin² x
  Шаг 1: Упрощение числителя Подставим формулу sin 3a в числитель:
  5 sin a + sin 3a = 5 sin a + (3 sin a - 4 sin³ a) = 8 sin a - 4 sin³ a
  Вынесем 4 sin a за скобки:
  8 sin a - 4 sin³ a = 4 sin a (2 - sin² a)
  Заменим 2 на (cos² a + sin² a + 1) = (cos² a + sin² a + cos² a + sin² a):
  4 sin a (cos² a + sin² a + cos² a + sin² a - sin² a) = 4 sin a (cos² a + sin² a + cos² a) = 4 sin a (cos² a + 1)
  Шаг 2: Упрощение знаменателя Подставим формулу cos 3a в знаменатель:
  cos a + cos 3a = cos a + (4 cos³ a - 3 cos a) = 4 cos³ a - 2 cos a
  Вынесем 2 cos a за скобки:
  4 cos³ a - 2 cos a = 2 cos a (2 cos² a - 1)
  Шаг 3: Преобразование знаменателя, используя формулу косинуса двойного угла Заметим, что 2 cos² a - 1 = cos² a + cos² a - 1 = cos² a - sin² a = cos 2a
  Таким образом, знаменатель равен:
  2 cos a (cos 2a)
  Шаг 4: Сокращение дроби Теперь у нас есть:
  (4 sin a (cos² a + cos² a + sin² a)) / (2 cos a (2 cos² a - 1)) = (4 sin a (1 + cos² a)) / (2 cos a cos 2a)
  Шаг 5: Альтернативный способ преобразования числителя Рассмотрим числитель с другого ракурса:
  5 sin a + sin 3a = 5 sin a + 3 sin a - 4 sin³ a = 8 sin a - 4 sin³ a = 4 sin a (2 - sin² a) = 4 sin a (1 + cos² a)
  Используем основное тригонометрическое тождество: sin² a + cos² a = 1 => sin² a = 1 - cos² a
  Тогда 2 - sin² a = 2 - (1 - cos² a) = 1 + cos² a.
  Шаг 6: Альтернативный способ преобразования знаменателя Преобразуем знаменатель, используя формулы суммы косинусов:
  cos a + cos 3a = 2 cos((a + 3a)/2) cos((a - 3a)/2) = 2 cos(2a) cos(-a)
  Учитывая, что cos(-a) = cos(a), получаем:
  2 cos(2a) cos(a)
  Шаг 7: Заключительный шаг Исходное выражение:
  (5 sin a + sin 3a) / (cos a + cos 3a) = (4 sin a(cos² a + 1)) / (2 cos a cos 2a)
  Преобразуем числитель:
  4 sin a (1 + cos² a) = 4 sin a (sin² a + cos² a + cos² a) = 4 sin a (sin² a + 2cos² a)
  Используем другой способ разложения числителя.
  (5 sin a + sin 3a) = 2 sin 2a cos a + 4 sin a cos^2 a = 2sin a cos a (2cos a)
  4sin a cos a = 2sin(2a).
  Преобразуем:
  (8sin(a) - 4sin^3(a))/(4cos^3(a) -2cos(a)) = (2sin(a)(4-2sin^2(a)))/(2cos(a)(2cos^2(a)-1))= (sin(a)/cos(a)) (4-2sin^2(a))/(2cos^2(a)-1) = tg(a) (4-2sin^2(a))/(2cos^2(a)-1)
  Вернемся к варианту с cos(2a)
  (4sin(a)(1 + cos^2(a))/(2cos(a)cos(2a)) = (2sin(a)(1+cos^2(a)))/(cos(a)cos(2a))
  tg(a) = sin(a)/cos(a)
  2tg(a)(1+cos^2(a)) / cos(2a) = 2 tg(a)(1 + cos² a) / (cos² a - sin² a)
  Подставим sin² a = 1 - cos² a
  2tg(a)(1 + cos² a) / (cos² a - (1 - cos² a)) = 2 tg(a) (1 + cos² a) / (2 cos² a - 1)
  Используем формулу двойного угла для тангенса:
  tg 2a = (2 tg a) / (1 - tg² a) = (2 tg a) / (1 - (sin² a / cos² a)) = (2 tg a cos² a) / (cos² a - sin² a)
  Изначальное тождество
  (5 sin a + sin 3a) / (cos a + cos 3a) = (8 sin a - 4 sin³ a) / (4 cos³ a - 2 cos a) = (4 sin a (2 - sin² a)) / (2 cos a (2 cos² a - 1))
  = (2 sin a (1 + cos² a)) / (cos a (cos² a - sin² a)) = (2 sin a (1 + cos² a)) / (cos a cos 2a)
  = 2tg(a) (1 + cos²(a)) / cos(2a) = tg(2a)
  tg 2a = 2 tg(a) / (1 - tg²(a)) = 2 sin(a) / cos(a) / (1- sin²(a) / cos²(a)) =
  2 sin(a) cos(a) / (cos²(a) - sin²(a)) = 2sin(a)cos(a) / cos(2a)
  Перепроверим:
  2tg(a) (1 + cos²(a)) / cos(2a)
  2sin(a)/cos(a) (1 + cos²(a)) / cos(2a) =
  2sin(a)/cos(a) (1 + cos²(a)) / (cos²(a) - sin²(a))=tg(2a)
  Чтобы доказать это равенство, необходимо доказать, что
  2sin(a)/cos(a) (1 + cos²(a)) / (cos²(a) - sin²(a)) = 2sin(a)cos(a) / cos(2a)
  или
  2sin(a)/cos(a) (1 + cos²(a)) / cos(2a) = 2sin(a)cos(a) / cos(2a).
  Следовательно, необходимо доказать, что 1 + cos²(a) = cos²(a), что не верно.
  Ошибка где-то в вычислениях.
  Шаг 1: Преобразование левой части (5sin(a) + sin(3a))/(cos(a)+cos(3a)) = (5sin(a)+3sin(a)-4sin^3(a))/(cos(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)) =
  (8sin(a)-4sin^3(a))/(4cos^3(a) - 2cos(a)) = 4sin(a)(2-sin^2(a))/(2cos(a)(2cos^2(a) - 1)) = 2tg(a)(1+cos^2(a))/(cos(2a)).
  tg(2a) = sin(2a)/cos(2a) = 2sin(a)cos(a) / (cos^2(a)-sin^2(a)).
  2tg(a)(1+cos^2(a))/(cos(2a)) = 2 sin(a) (1 + cos^2(a)) / cos(a) * cos(2a).
  Тут тоже ошибка, сбиваюсь.
  Упрощение числителя 5 sin a + sin 3a = 5 sin a + 3 sin a - 4 sin³ a = 8 sin a - 4 sin³ a = 4 sin a (2 - sin² a) = 4 sin a (1 + cos² a)
  Упрощение знаменателя cos a + cos 3a = cos a + 4 cos³ a - 3 cos a = 4 cos³ a - 2 cos a = 2 cos a (2 cos² a - 1) = 2 cos a cos 2a
  (4 sin a (1 + cos² a)) / (2 cos a cos 2a) = 2 tg a (1 + cos² a) / cos 2a
  tg 2a = sin 2a / cos 2a = 2 sin a cos a / cos 2a
  2 tg a (1 + cos² a) / cos 2a = 2 (sin a / cos a) (1 + cos² a) / cos 2a = 2 sin a (1 + cos² a) / (cos a cos 2a)
  Равенство: 2 sin a (1 + cos² a) / (cos a cos 2a) = 2 sin a cos a / cos 2a
  Необходимо доказать, что (1 + cos² a) / cos a = cos a, что не верно.
  Надо еще подумать.