Докажите методом математической индукции истинность следующих формул для любого натурального n..
Докажите методом математической индукции истинность следующих формул для любого натурального n..
1) База индукции: при n = 1 формула принимает вид 1^2 = (1(1+1)(2*1+1))/6, что является верным утверждением.
2) Предположение индукции: предположим, что формула верна для некоторого k, то есть 1^2 + … + k^2 = (k(k+1)(2k+1))/6.
3) Шаг индукции: докажем, что формула верна для k+1. Для этого добавим (k+1)^2 к обеим частям уравнения в предположении индукции:
1^2 + … + k^2 + (k+1)^2 = (k(k+1)(2k+1))/6 + (k+1)^2 = (k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2)/6 = (k+1)(k(2k+1) + 6(k+1))/6 = (k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6.
Таким образом, формула верна для k+1.
Итак, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального n.
2) База индукции: при n = 1 формула принимает вид 1*1! = (1+1)! - 1, что является верным утверждением.
3) Предположение индукции: предположим, что формула верна для некоторого k, то есть 11! + … + kk! = (k+1)! - 1.
4) Шаг индукции: докажем, что формула верна для k+1. Добавим (k+1)*(k+1)! к обеим частям уравнения в предположении индукции:
11! + … + kk! + (k+1)(k+1)! = (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)! = (k+1)! + (k+1)*(k+1)! - 1 = (k+1)!(1 + (k+1)) - 1 = (k+1)!(k+2) - 1 = (k+2)! - 1.
Таким образом, формула верна для k+1.
Итак, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального n.
3) База индукции: при n = 11 формула принимает вид 2^11 > 11^3, что является верным утверждением.
4) Предположение индукции: предположим, что формула верна для некоторого k, то есть 2^k > k^3 при k > 10.
5) Шаг индукции: докажем, что формула верна для k+1. Умножим обе части неравенства в предположении индукции на 2:
2^(k+1) > 2k^3.
Так как k > 10, то 2k^3 > (k+1)^3, так как (k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1, и 3k^2 + 3k + 1 > 0 для всех k > 10.
Таким образом, 2^(k+1) > (k+1)^3.
Итак, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального n > 10.